Моделювання внутрішньочастинкового масопереносу за допомогою дробово-диференціальних рівнянь

Анотація

В статті розглянуто процес розробки програмного забезпечення для впровадження апарату дробового аналізу в галузі математичного моделювання, зокрема на прикладі задачі внутрішньочастинкового масопереносу в неоднорідному каталітичному пористому середовищі. Висвітлено основні етапи побудови математичної моделі, яка ґрунтується на використанні дробових похідних Капуто, що дозволяє враховувати ефекти пам’яті та просторової нелокальності, властиві пористим і неоднорідним матеріалам. Для відповідної одновимірної крайової задачі було знайдено аналітичний розв’язок із застосуванням методів Фур’є та перетворення Лапласа.

Описано алгоритмічні рішення та програмну реалізацію чисельних методів на основі бібліотек Python, зокрема NumPy і NumFracPy, які забезпечують ефективні обчислення над багатовимірними масивами даних. Увагу приділено обчисленню функції Міттаг-Лефлера, яка є компонентом дробово-диференціальних рівнянь. Наведено структуру програмного комплексу. Реалізовано механізм передачі вхідних параметрів через командний рядок.

Програмний продукт було верифіковано шляхом проведення числових експериментів і аналізу поведінки математичної моделі при різних параметрах. Для цього було виконано розрахунок значень функції у тестових точках і порівняння результатів із обчисленнями в системах комп’ютерної алгебри. Підтверджено, що чисельні розв’язки збігаються з аналітичними результатами.

Запропоноване програмне рішення забезпечує підвищену точність і продуктивність обчислень, дозволяючи застосовувати його для аналізу складних багатофакторних фізичних систем.