Векторно-матричний метод числової реалізації поліноміальних інтегральних операторів Вольтерри

Анотація

У статті розглядається метод квадратур для числової реалізації поліноміальних інтегральних операторів. При комп’ютерній реалізації інтегральних моделей типу Вольтерри характерною проблемою є накопичення кількості обчислень на кожному кроці обчислювального процесу. Для його пришвидшення пропонується застосовувати векторно-матричний підхід. В основі запропонованого підходу лежать методи квадратур: прямокутників, трапецій, Сімпсона. Для однорідних поліноміальних інтегральних операторів Вольтерри першого, другого та третього степеня побудовано, відповідно, у вигляді векторів, матриць та тривимірних структур об’єкти, які містять коефіцієнти відповідних квадратурних формул. Запропонований векторно-матричний підхід передбачає зведення обчислювальних операцій до поелементного множення елементів відповідних структур та дозволяє ефективно використовувати паралельні алгоритми, що значно пришвидшує виконання обчислювальних задач реалізації інтегральних операторів. В роботі оцінено складність реалізації в залежності від кількості можливих паралельних потоків. Оцінку запропонованих апроксимацій інтегральних представлень досліджено на модельних прикладах, в яких присутні моделі у вигляді поліноміальних інтегральних операторів Вольтерри другого та третього степеня. Результати обчислювальних експериментів показали, що серед розглянутих квадратурних методів оптимальним у відношенні «точність — складність реалізації» є метод трапецій. Точність числової реалізації інтегральних моделей залежить від вибраного методу, кроку моделювання, виду ядра, і не залежить від розмірності оператора. Векторно-матричний підхід дозволяє будувати ефективні алгоритми для числової реалізації інтегральних моделей та значно спрощує їх програмну реалізацію, оскільки дозволяє легке масштабування до багатовимірного випадку. Таке представлення дає змогу використовувати переваги матрично-орієнтованих пакетів прикладних програм (Matlab, Octave, Scilab), особливістю яких є висока швидкість виконання матричних операцій.