Спосіб раціональної модифікації ітераційних алгоритмів чисельного розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь

Анотація

Ітераційні методи розв’язування інтегральних рівнянь є потужним інструментом для теоретичних досліджень і практичних розрахунків. Особливість ітераційних методів полягає в простоті обчислювальних алгоритмів, що має істотне значення у процесі комп’ютерної реалізації. Недоліки цього класу методів полягають у проблемі збіжності, а саме ітераційний процес повинен бути збіжним, а швидкість збіжності — високою, що притаманно при чисельному розв'язуванню нелінійних інтегральних рівнянь.

У статті розглянуто спосіб використання комбінації методу Ньютона-Канторовича і квадратурних формул, що дає змогу отримати високоточний чисельний алгоритм для розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь Фредгольма II роду. Наведено результати розв’язування тестового прикладу, які свідчать про ефективність та високу точність методу. Розглянуто можливість використання алгоритму розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь на основі методу послідовних наближень при інтерполяції ядра кубічним сплайном. Недоліком наведених методів при комп'ютерній реалізації є проблема вибору «кращого» початкового наближення, що, у свою чергу, прискорює збіжність методу і тим самим зменшує накопичення похибки.

Розглянутий у статті спосіб модернізації ітераційних алгоритмів чисельного розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь дозволяє визначити «краще» початкове наближення, що дає змогу збільшити швидкість збіжності ітераційного процесу вихідного методу. Результати обчислювальних експериментів при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма IІ роду підтверджують ефективність застосування модернізованого алгоритму на основі методу простих ітерацій із попередньою оптимізацією початкового наближення.