Математичне моделювання повільного руху води у водоймі з ділянками поповнення течії методом комплексного аналізу

Анотація

Дослідження присвячено узагальненню чисельного методу комплексного аналізу моделювання процесів повільного руху води в водоймах, обмежених лініями втоку, витоку та береговими непроникними лініями. А саме, розглядається плоска задача повільного руху води у водоймі з довільною скінченною кількістю ділянок поповнення течії та однією ділянкою витоку, при умові «відсутності перетоків» (між ділянками поповнення). Для розв’язку даної задачі, запропоновано узагальнення відомого чисельного методу комплексного аналізу, що базується на побудові конформного відображення даної фізичної області течії на область відповідного комплексного потенціалу, яка має вигляд многокутника зі сторонами паралельними осям координат. Для цього введено комплексний потенціал течії, що складається з потенціалу швидкостей та функції течії, і сформульовано відповідну обернену задачу (на конформне відображення області комплексного потенціалу на фізичну область) з невідомими геометричними та гідродинамічними параметрами, зокрема витратами кожного джерела поповнення та загальною витратою через ділянку витоку. Відповідну різницеву схему побудовано на основі апроксимації рівнянь Лапласа та умов Коші–Рімана з використанням шаблонів типу «хрест» і «Т», а також узагальнено ітераційний алгоритм уточнення координат вузлів гідродинамічної сітки, параметрів конформності та витрат. Цей алгоритм реалізовано програмно мовою Python і апробовано на тестовій задачі для кругової області з двома джерелами поповнення та одним джерелом витоку. Проведено ряд чисельних експериментів для випадків однакових і різних значень потенціалу на ділянках поповнення. Побудовано гідродинамічні сітки та виявлено характерні підобласті згущення сітки та застійні зони.