DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5916.2018-17.49-62

Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры

Олександр Анатолійович Дячук, Наталія Леонідівна Костьян

Анотація


Несмотря на широкое использование метода коллокации для решения интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, до сих пор мало внимания уделялось реализации данного метода применительно к интегральным уравнениям с переменными пределами. В данной статье рассматриваются задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам области определения переменной интегрирования. Алгоритм метода представляет собой итерационный процесс. Задача сводится к решению систем в общем случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов соответствующих полиномов. На каждом шаге итерации определяется аналитическое выражение для очередного полинома, что позволяет найти решение в любой точке заданного интервала. Особенностью коллокационного алгоритма для уравнений Вольтерры 2 рода является замена квадратурными формулами интегралов, которые входят в систему уравнений относительно приближенных значений коэффициентов. Выбор коэффициентов квадратурных формул зависит от принятого количества узлов на участке. В работе рассмотрен частный случай системы для трех узлов. При этом была произведена замена подынтегрального выражения решаемого уравнения интерполяционным многочленом в форме Ньютона. Результаты решения тестовых примеров подтверждают работоспособность предложенных алгоритмов и свидетельствуют о высокой точности расчетов. Метод коллокации позволяет получать решения уравнений Вольтерры по участкам промежутка интегрирования, выбирая их длину и при­меняя на каждом из них аппроксимирующее выражение с небо­льшим числом координатных функций. Данный метод может бы­ть использован при идентификации динамических объектов и сис­тем, а также при решении задач восстановления входных сигналов.


Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Довгий С. А. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения / С. А. Довгий, И. К. Лифанов. — К. : Наукова думка, 2002. — 342 с.

Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) : учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. — 2-е изд., испр. — М. : ОНИКС 21 век, 2005. — 400 с.

Габдулхаев Б. Г. Прямые и проекционные методы решения слабосингу-лярных интегральных уравнений I-го рода : учебное пособие / Б. Г. Габдулхаев. — Казань : Казанский государственный университет, 2006. — 137 с.

Бойков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений : монография / И. В. Бойков. — Пенза : Пензенский государственный университет, 2004. — 297 с.

Имомов А. И. Организация приближённого решения интегральных уравнений в MathCAD / А. И. Имомов // Молодой ученый. — 2014. — № 14 (73). — С. 6–15.

Карчевский Е. М. Численные методы решения интегральных уравнений и комплекс программ на языке Matlab : учебное пособие / Е. М. Карчевский. — Казань : Казанский федеральный университет, 2017. — 61 с.

Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с.

Спиридонов А. О. Метод коллокации решения нелинейных спектральных задач для граничных интегральных уравнений Мюллера / А. О. Спиридонов, Е. М. Карчевский, А. И. Носич // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2015. — № 2 (34). — С. 32-45.