Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки

Анотація

Одним із сучасних наукових методів дослідження явищ та процесів є математичне моделювання, яке в багатьох випадках дозволяє замінити реальний процес і дає можливість отримувати як якісну так і кількісну картину процесу. Оскільки точні розв’язки таких моделей можна знайти в дуже окремих випадках, то необхідно використовувати наближені методи. В прикладній математиці широкого застосування набули дробово-раціональні наближення, які при відповідних умовах дають високу швидкість збіжності алгоритмів, двосторонні та монотонні наближення.

У роботі, використовуючи методику побудови однокрокових методів для розв’язання початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь та розвинення шуканого розв’язку в скінчений ланцюговий дріб, запропоновано числовий метод розв’язування задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтери. Знайдено значення параметрів, при яких отримано нелінійний метод першого та другого порядку точності.

Запропоновано обчислювальні формули, які на кожному кроці інтегрування дозволяють отримати верхнє та нижнє наближення до точного розв’язку без додаткових обчислень правої частини інтего-диференціального рівняння. Розрахункові формули, в яких головні члени локальної похибки відрізняються тільки знаком, утворюють двосторонній метод. Півсуму двосторонніх наближень до точного розв’язку приймаємо за наближений розв’язок в даній точці інтегрування, а абсолютна величина піврізниці визначає похибку отриманого результату.

Модульний характер запропонованих алгоритмів дає можливість в кожній точці інтегрування отримати кілька наближень до точного розв’язку початкової задачі для нелінійного інтегро-диференціального рівняння. Співставлення цих наближень дає корисну інформацію у питанні вибору кроку інтегрування або при оцінці точності результату.