Чисельний аналіз методом двобічних наближень деяких задач стаціонарної нелінійної теплопровідності

Анотація

Задачу дослідження процесів теплопровідності в об’єктах, розміщених у нелінійних середовищах, зводять до розв’язання крайових задач для нелінійного рівняння теплопровідності, в якому коефіцієнти та/або функція потужності теплових джерел змінюються із температурою за певним законом. Серед чисельних підходів до розв’язання таких задач для нелінійних рівнянь математичної фізики можна виокремити метод скінченних різниць, скінченних елементів, варіаційні, проєкційні та різноманітні ітераційні методи. З останньої групи найбільш потужним можна вважати метод двобічних наближень, оскільки він дозволяє отримати зручну оцінку похибки наближеного розв’язку й обґрунтувати існування розв’язку задачі.

Метою роботи є дослідження застосовності методу двобічних наближень на основі використання функцій Гріна до розв’язання першої крайової задачі для нелінійного одновимірного рівняння теплопровідності зі степенево залежним від температури коефіцієнтом теплопровідності та експоненціально залежною від температури функцією потужності внутрішніх джерел тепла. Для досягнення поставленої мети була виконана заміна невідомої функції, а нова отримана крайова задача була зведена до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке було розглянуто як нелінійне операторне рівняння у напівупорядкованому банаховому просторі. Сформульовано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та умови двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв’язанні тестової задачі. Результати обчислювального експерименту наведено у графічній та табличній формах